Магистерская диссертация на тему: Матике, её приложениям и информационным технологиям

Введение

В данной работе изучаются так называемые бильярдные системы. К простейшим из них относятся "бильярд в плоской области" (точечный шар, движущийся внутри круга, прямоугольника, эллипса, многоугольника и т. д.) и "одномерный бильярд". Общим свойством бильярдных систем является закон абсолютно упругого отражения. О геометрических, "арифметических", физических следствиях этого закона и рассказывается в работе.

Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Описанию движения бильярдного шара (с учетом трения) на прямоугольном столе с лузами посвящена книга известного французского физика Г.Г. Кориолиса, написанная им в 1835 г. за год до избрания его академиком Парижской академии наук.

Методы исследования бильярдных систем (например, анализ поведения бильярдных траекторий), с одной стороны, примыкают к традиционной геометрии, а с другой - лежат на стыке отраслей современной математики - теории чисел, топологии, эргодической теории и теоретической механики. Будучи, как правило, вполне элементарными, эти методы позволяют получить далеко не элементарные выводы.

Общая математическая проблема бильярда заключается в том, чтобы описать возможные типы бильярдных траекторий в данной области Q. Простейший принцип такого описания - разделение траекторий на периодические, или замкнутые, и остальные - непериодические.

Интерес представляют и такие вопросы: Какое число звеньев может иметь периодическая траектория? Какие периоды имеют периодические траектории в данной области (если принять минимальный период периодической траектории, скажем, за единицу)?

Оказывается, это далеко не праздные вопросы - например, они имеют прямое отношение к исследованию специальных систем квантовой механики.

Многие результаты являются классическими и восходят к Кориолису, Больцману, Пуанкаре, Киркгофу. Современная теория бильярдов является одним из актуальных направлений математической физики. Ее основы были заложены советским математиком Я. Г. Синаем и его школой.

В первом разделе данной работы описана математическая модель бильярда.

Во втором разделе описаны виды траекторий бильярного шара.

В третьем разделе описаны задачи на "переливание" и их решение с помощью математической модели бильярда.

Оглавление

- Введение

- Математическая модель бильярда

- Траектории движения

- Задачи на переливание

- Типичные задачи на переливание

- Условие разрешимости задач

- Алгоритм решения задач на переливание Заключение

- Список использованных источников

- Приложение

Список литературы

1. Гальперин Г.А., Математические бильярды [текст]/ Земляков А.Н., Гальперин Г.А - М.: Наука,- 1990.- 290с.

2. Кориолис Г.Г., Математическая теория явлений бильярдной игры. [текст]/ Кориолис Г. Г.- М.: Гостехиздат, 1956.

3. Борахеостов В., Бильярды [текст]/ Борахеостов В. // Наука и жизнь. 1966. №№ 2-4, 6, 11.

4. Гальперин Г.А., Бильярды [текст] / Гальперин Г.А. //Квант. 1981. №4.

5. Земляков А.Н., Математика бильярда [текст]/ Земляков А.Н. // Квант. 1976. № 5.

6. Земляков А.Н., Арифметика и геометрия столкновений [текст]/ Земляков А.Н. // Квант. 1978. №4.

7. Земляков А.Н., Бильярды и поверхности [текст]/ Земляков А. Н. // Квант. 1979. № 9.

8. Гальперин Г.А., Периодические движения бильярдного шара [текст]/ Гальперин Г.А., Степин А. М.// Квант. 1989. № 3.

9. Тихомиров В.М., Рассказы о максимумах и минимумах [текст]/ Тихомиров В.М.- М.: Наука, 1986 (Библиотечка "Квант". Вып. 56).