Магистерская диссертация на тему: Средняя общеобразовательная школа

Введение

Первое упоминание о латинских квадратах (в связи с решением карточных задач) относится к 1723 г. Систематическое изучение латинских квадратов началось с работ Эйлера.

В XVIII веке, когда Эйлер ввел понятие греко-латинских (ортогональных) квадратов, они были просто новыми чисто математическими объектами. В дальнейшем латинские и особенно ортогональные латинские квадраты нашли применения в различных областях.

В комбинаторике полные системы ортогональных латинских квадратов соответствуют конечным аффинным и проективным плоскостям. Латинские квадраты используются при построении квадратов Рума (турниров игры в бридж). В конце XIX века Кэли показал, что таблица умножения элементов конечной группы является латинским квадратом. В 30-х годах XX века возникло понятие квазигруппы, в которой таблицей умножения может быть любой латинский квадрат.

Системы попарно ортогональных латинских квадратов используются при построении сеточных методов интегрирования в вычислительной математике.

В 30-х годах XX века Р. Фишер предложил использовать латинские (и ортогональные латинские) квадраты для планирования сельскохозяйственных экспериментов.

Еще одна область применения латинских квадратов - построение кодов, исправляющих ошибки.

Вряд ли Эйлер предполагал, что латинские квадраты будут столь широко применяться, однако его математическая интуиция помогла правильно оценить естественность конструкции и нетривиальность свойств латинских квадратов.

Между головоломкой судоку и латинскими квадратами существует прямая взаимосвязь: завершенная сетка судоку является специальным типом латинского квадрата с дополнительной особенностью - никаких повторяющихся чисел в любом блоке 3х3.

Для каждого, кто пытался, решить задачу судоку, естественно возникают несколько вопросов. Для данной задачи, решение существует? Если решение существует, оно единственное? Если решение не единственное, сколько решений есть? Кроме того, есть систематический путь определения всех решений? Каково минимальное количество данных, с помощью которых можно гарантировать уникальное решение? В большинстве задач - минимум 17. Неизвестно в настоящее время, если задача с 16 данными, дающее единственное решение. Gordon Royle собрал 36 628 задач судоку с 17 числами, имеющие единственное решение.

Мы переформулируем эти вопросы в математическом контексте и попытаемся ответить на них. Более точно, мы интерпретируем судоку как задачу окрашивания вершин в теории графов. Это позволит нам, обобщить вопросы и рассматривать их в более широком смысле.

Оглавление

- Введение

- Хроматические многочлены

- Подсчет решений судоку Заключение

- Список использованных источников

- Приложение

Список литературы

2. С. D. Godsil and В. D. McKay, Asymptotic enumeration оf Latin rectangles, J.comb. Theory Ser. В 48 (1990), nо.1, 19-44.

3. В. Felgenhauer and А. F. Jarvis, Mathematics оf Sudoku I, Mathematical Spectrum 39 (2006), 15-22.

5. J. Н. Van Lint and R. М. Wilson, А Course in Combinatorics, Cambridge University Press, 1992.